개요

이 글은 Kongregate 개발자 블로그의 3부작 시리즈 중 2부로, 방치형(Idle) 게임에서 일반적인 '쿠키 클리커(Cookie Clicker)' 모델 외에 사용할 수 있는 대안적 성장 구조인 미분 기반 생성기 시스템을 수학적으로 분석합니다.

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기존 모델 vs. 미분 기반 모델

기존 표준 모델

• 하나의 주요 화폐가 존재하고, 모든 생성기(Gen 1, Gen 2 등)가 그 화폐를 직접 생산
• AdVenture Capitalist, Clicker Heroes 등이 대표적

미분 기반 모델 (Derivative-based Model)

• 생성기가 화폐를 직접 생산하는 것이 아니라, 상위 생성기가 하위 생성기를 생산하는 연쇄 구조
  • Gen 1 → 화폐 생산
  • Gen 2 → Gen 1 생산
  • Gen 3 → Gen 2 생산
  • 이하 동일
• 각 생성기는 수학적으로 **하위 생성기의 변화율(미분)**에 해당

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수학적 원리

적분 계열로 설명되는 성장

• Gen 1 하나가 초당 1 화폐를 생산: 화폐 = 1 (상수)
• Gen 2 하나가 Gen 1을 초당 1씩 생산: 화폐 = x²/2 (포물선)
• Gen 3 추가 시: 화폐 = x³/6
• 일반화: n개의 생성기 티어가 있을 때 화폐 성장 = xⁿ/n!

테일러 급수(Taylor Series)와의 연결

• 티어 수(m)가 늘어날수록 성장 공식은 다음 급수에 수렴: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

밸런스 측면

• 생산량: 지수보다 느린 다항식 성장 (sub-exponential)
• 비용: 지수 함수로 설계 가능 (예: 5 × 1.1ⁿ)
• → 생산이 비용보다 느리게 성장하므로 자연스러운 게임 균형 유지 가능

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실제 게임 사례

Derivative Clicker (gzgreg 제작)

• 미분 기반 모델을 가장 명확하게 구현한 게임
• 구조 예시:
  • Graduate Student (Gen 3) → Undergrad (Gen 2) 생산
  • Undergrad (Gen 2) → High Schooler (Gen 1) 생산
  • High Schooler (Gen 1) → 달러(화폐) 생산
• High Schooler의 비용: 5 × 1.1ⁿ (지수 비용)
• 두 가지 화폐와 생성기 간 상호 의존성을 구현해 복잡한 전략적 상호작용 제공
• 각 생성기에 총 보유량과 직접 구매량을 별도 표기

Shark Game (Cirrial 제작)

• Nurse Shark → Shark 생성 → 물고기 수확이라는 연쇄 구조 활용

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주요 밸런싱 과제 및 해결책

문제: 하위 티어 생성기의 구매 동기 감소

• 상위 생성기가 하위 생성기를 자동으로 대량 생산하면, 플레이어가 하위 생성기를 직접 구매할 이유가 없어짐

해결책: 티어 부스트 시스템 (Derivative Clicker 방식)

• 구매한 생성기 수를 기준으로 비용 계산 (보유량 기준이 아님)
• 티어별 부스트: 예) 1티어 건물 1개 구매 시, 모든 1티어 건물 생산량 0.05% 증가
• → 수십억 개의 생성기를 자동으로 보유하고 있어도, 수동 구매의 가치가 유지됨
• → 다양한 자원 소비 선택지를 제공해 게임 깊이를 높임

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게임 디자이너를 위한 인사이트

• 미분 기반 모델은 기존 표준 모델과 결합하거나 독립적으로 사용 가능
• 생성기 간 연결 방식을 자유롭게 실험할 것을 권장:
  • 하나의 생성기가 여러 화폐 생산 가능
  • 하나의 생성기가 여러 생성기 생산 가능
  • 화폐 간 상호 의존 구조 설계 가능
• 낮은 티어 게임 여러 개가 동시에 돌아가는 느낌을 주어 플레이어 만족감 향상
• 3부에서는 프레스티지 사이클과 밸런스를 다룰 예정