방치형 게임의 수학, 1부

Kongregate 개발자 블로그에서 발행한 이 글은 방치형(Idle) 게임을 실제로 제작하고 밸런싱하기 위한 수학적 원리를 3부작 시리즈로 설명하는 첫 번째 파트입니다.

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시리즈 구성

• 1부 (현재): 성장, 비용, 프레스티지, 생산기 밸런싱의 핵심 개념
• 2부: 대안적 성장 방식 (특히 파생 기반 성장)
• 3부: 프레스티지 사이클과 밸런싱

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핵심 용어 정의

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방치형 게임의 핵심 구조: 생산율 vs 비용의 시소 게임

방치형 게임의 본질은 생산율과 비용 사이의 균형입니다.

• 초반: 생산량 > 비용 → 빠른 구매 가능
• 후반: 비용이 생산량을 압도 → 구매 불가 상태 도달

이를 수식으로 표현하면:

다음 생산기 비용 (지수 성장):

cost_next = cost_base × (rate_growth)^owned

총 생산량 (선형/다항 성장):

production_total = (production_base × owned) × multipliers

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AdVenture Capitalist 실제 예시: 레모네이드 스탠드

• rate_growth = 1.07, cost_base = 4, production_base = 1.67/초

• 10개 보유 시:

  • 다음 비용: 4 × (1.07)^10 = 7.87
  • 생산율: 1.67 × 10 = 16.7/초 → 초반에는 생산이 비용을 크게 앞섬

• 25개, 50개 보유 시 x2 배율기(스택형) 가 적용되어 생산율이 일시적으로 급등

• 그러나 수학적으로 지수 성장(n^x)은 결국 어떤 다항 성장(x^k)도 추월함

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프레스티지의 역할

• 비용 곡선이 생산을 압도하기 시작하는 시점에 프레스티지 수행
• 매 프레스티지마다 생산 배율이 올라가고 비용 곡선을 더 멀리까지 따라갈 수 있게 됨
• 그래프상으로는 "곡선이 위로 슬라이드"하는 효과

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다중 생산기 밸런싱

여러 생산기가 존재할 경우:

• 플레이어는 어디에 투자할지 선택해야 함 → 더 복잡한 밸런싱 필요
• 최적 행동 모델: 매 구매 시점에 수익:비용 비율이 가장 좋은 생산기를 선택

문제점: 신규 생산기의 지배 현상

• 로그 스케일로 보면, 새로운 생산기가 구매 가능해지는 순간 거의 항상 지배적
• 이는 오래된 생산기를 무의미하게 만들어 플레이어의 흥미로운 선택을 제거함
• 예: 5화폐짜리 레모네이드(10화폐/초) vs 7,500화폐짜리 세차장(10,000화폐/초) → 레모네이드가 수치상 유리하지만, 플레이어는 체감 임팩트가 없어 구매를 고려하지 않음

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배율기 설계를 통한 다양성 확보

기본 설정 (단순한 배율 구조):

• 모든 생산기가 동일한 배율 보너스를 받으면 최신 생산기가 항상 지배적

개선된 배율 구조 적용 시:

• 생산기별로 상이한 배율 값을 적용하면, 게임 진행에 따라 다양한 생산기가 번갈아 우선순위를 가짐
• 플레이어는 어떤 생산기가 현재 가장 효율적인지 파악하려 노력하게 됨
• → 더 높은 다양성과 예측 불가능성 제공

구매 가능한 업그레이드를 추가하면 이런 변화를 더 풍부하게 제공 가능

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보너스: 실용 수학 공식

대량 구매 비용 계산

$cost = b \times \frac{r^k(r^n - 1)}{r - 1}$

현재 자금으로 최대 구매 가능 수량

$max = floor\left(\log_r\left(\frac{c(r-1)}{b \cdot r^k} + 1\right)\right)$

또는 일반 log/ln 사용 시: $max = floor\left(\frac{\log\left(\frac{c(r-1)}{b \cdot r^k} + 1\right)}{\log(r)}\right)$

변수 설명:

• n = 구매할 생산기 수
• b = 기본 가격
• r = 가격 성장률 지수
• k = 현재 보유한 생산기 수
• c = 현재 보유 화폐

⚠️ 이 공식은 비용이나 지수가 변하지 않는 단순 지수 성장에만 적용 가능

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개발자 인사이트 요약

• 방치형 게임 밸런싱의 핵심은 지수 비용 성장 vs 다항 생산 성장의 설계
• 배율기 설계만으로도 게임의 다양성과 흥미도를 크게 바꿀 수 있음
• 최적 구매 모델을 스프레드시트로 시뮬레이션하면 밸런싱 작업에 실질적인 도움이 됨
• 대량 구매 공식을 활용하면 반복 루프 없이 효율적인 계산 가능